Question

2．如圖所示，A、B、D、E四點(diǎn)在同一直線上，△ABC是邊長為2的正三角形，DEFG是邊長為2的正方形，在靜止?fàn)顟B(tài)時，B點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)，且$|{\overrightarrow{BD}}|=1$，讓A點(diǎn)沿直線AB從左到右運(yùn)動，當(dāng)A點(diǎn)運(yùn)動到E點(diǎn)時，運(yùn)動結(jié)束．
（1）求在靜止?fàn)顟B(tài)時，$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CE}$的值；
（2）當(dāng)A點(diǎn)運(yùn)動時，求$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CE}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）在靜止?fàn)顟B(tài)時，以D為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，再利用向量的數(shù)量積公式，即可求在靜止?fàn)顟B(tài)時，$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CE}$的值；
（2）當(dāng)A點(diǎn)運(yùn)動時，用坐標(biāo)表示向量，再利用向量的數(shù)量積公式，即可求求$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CE}$的最小值．

解答 解：（1）在靜止?fàn)顟B(tài)時，以D為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，依題意得
$\overrightarrow{BF}$=（3，2），$\overrightarrow{CE}$=（4，-$\sqrt{3}$），則
$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CE}$=12-2$\sqrt{3}$…（6分）
（2）在運(yùn)動狀態(tài)時，仍然如上圖建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)A（m，0），依題意得-3≤m≤2，
這時$\overrightarrow{BF}$=（-m，2），$\overrightarrow{CE}$=（1-m，-$\sqrt{3}$），…（10分）
則$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CE}$=m²-m-2$\sqrt{3}$=（m-$\frac{1}{2}$）²-2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{4}$
由-3≤m≤2知，當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時，$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CE}$的值最小，且最小值為-2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{4}$．…（15分）

點(diǎn)評 本題考查向量知識的運(yùn)用，考查配方法，正確建立坐標(biāo)系是關(guān)鍵．