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14．設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+2b+3c=4，求證：a2+b2+c2≥$\frac{8}{7}$．

分析 由條件利用柯西不等式可得（a2+b2+c2）（1+4+9）≥（a+2b+3c）2=16，變形即可證得結(jié)論．

解答 證明：∵a+2b+3c=4，由柯西不等式，得（a2+b2+c2）（1+4+9）≥（a+2b+3c）2=16，
∴a2+b2+c2≥$\frac{8}{7}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}{1}=\frac{2}=\frac{c}{3}$時，等號成立，即當(dāng)a=$\frac{2}{7}$、b=$\frac{4}{7}$、c=$\frac{6}{7}$時，等號成立，
∴a2+b2+c2≥$\frac{8}{7}$．

點(diǎn)評 本題主要考查柯西不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

4．已知0＜α，β＜π，且cosα+cosβ-cos（α+β）=$\frac{3}{2}$，則2α+β=π．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．拋物線y2=8x上到頂點(diǎn)和準(zhǔn)線距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 1，±2$\sqrt{2}$）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

2．已知實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2≥0}\\{x+y-1≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，則z=2x+y的最小值是（　�。�
A．-4B．-6C．1D．2

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9．設(shè)f（x）=4x3+mx2+（m-3）x+n（m，n∈R）是R上的單調(diào)增函數(shù)，則m的值為6．

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19．已知向量$\overrightarrow a=（-1，2）$，$\overrightarrow b=（3，-6）$，若向量$\overrightarrow c$滿足$\overrightarrow c$與$\overrightarrow b$的夾角為120°，$\overrightarrow c•（4\overrightarrow a+\overrightarrow b）=5$，則$|{\overrightarrow c}|$=（　�。�
A．1B．$\sqrt{5}$C．2D．$2\sqrt{5}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

6．在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知角A=60°．
（1）若sinC+cosC=$\sqrt{3}$cosB，求角B的大��；
（2）若a=$\sqrt{3}$，求△ABC周長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

3．已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，證明：
（1）（b+c+d）2≤2b2+3c2+6d2；
（2）|a-$\frac{3}{2}$|≤$\frac{1}{2}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．（1）已知a，b都是正數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2；
（2）已知a，b，c都是正數(shù)，求證：$\frac{{{a^2}{b^2}+{b^2}{c^2}+{c^2}{a^2}}}{a+b+c}$≥abc．

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