精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

已知函數(shù) $數(shù)學(xué)公式$ ， $數(shù)學(xué)公式$ ，其圖象過點 $數(shù)學(xué)公式$
（1）求f（x）的解析式，并求對稱中心
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴大為原來的2倍，然后各點橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴大為原來的2倍，得到g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在 $數(shù)學(xué)公式$ 上的最大值和最小值．

解：（1） $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （3分）
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （2分）
$\text{[math]}$ ，對稱中心為 $\text{[math]}$ （2分）
（2）∵ $\text{[math]}$ ，（1分）
$\text{[math]}$ （2分）
$\text{[math]}$
當(dāng) $\text{[math]}$ 時，即 $\text{[math]}$ 時，g（x）的最大值為2 （2分）
當(dāng) $\text{[math]}$ 時，即x=0時，g（x）的最小值為 $\text{[math]}$ （2分）
分析：（1）利用降冪公式，兩角差的正弦公式，輔助角公式，我們可以凈函數(shù)f（x）的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，結(jié)合其圖象過點 $\text{[math]}$ ，我們可以求出∅值，得到f（x）的解析式，再由正弦型函數(shù)的對稱性質(zhì)，求出對稱中心的坐標(biāo)．
（2）由正弦型函數(shù)的圖象的變換法則，我可以求出g（x）的解析式，進而根據(jù)正弦型函數(shù)的值域和性質(zhì)得到函數(shù)g（x）在 $\text{[math]}$ 上的最大值和最小值．
點評：本題考查的知識點是三角函數(shù)的最值，正弦函數(shù)的對稱性質(zhì)，正弦函數(shù)的圖象變換，其中（1）的關(guān)鍵是求出f（x）的解析式，（2）的關(guān)鍵是求出g（x）的解析式．

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