Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列；
（2）設b_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，證明：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通過對a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*）變形可知a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）（n∈N^*），進而可知數(shù)列{a_n+1-a_n}是首項、公比均為2的等比數(shù)列；
（2）通過（1）可知a_n+1-a_n=2ⁿ，進而可知數(shù)列{a_n}是遞增的，裂項可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$），進而并項相加、放縮即得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*），
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）（n∈N^*），
又∵a₂-a₁=3-1=2，
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是首項、公比均為2的等比數(shù)列；
（2）由（1）可知a_n+1-a_n=2ⁿ，顯然數(shù)列{a_n}是遞增的，
∴b_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$），
于是T_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）
＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的證明及數(shù)列的求和，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．