Question

5．設(shè)f（x）=x+tanA•tanB-1，其中A，B是△ABC的內(nèi)角．
（1）若[f（1）-1]cosA•cosB=$\frac{1}{2}$，且A=$\frac{π}{4}$，a=$\sqrt{2}$．求c的長；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）利用條件，確定A=B=$\frac{π}{4}$，C=$\frac{π}{2}$，即可求c的長；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，可得f（0（f（1）＜0，A+B=$\frac{π}{2}$，即可判斷△ABC的形狀．

解答 解：（1）∵f（x）=x+tanA•tanB-1，[f（1）-1]cosA•cosB=$\frac{1}{2}$，
∴sinA•sinB=$\frac{1}{2}$，
∵A=$\frac{π}{4}$，
∴B=$\frac{π}{4}$，
∴C=$\frac{π}{2}$，
∵a=$\sqrt{2}$，
∴c=2；
（2）∵函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，
∴f（0（f（1）＜0，
∴（tanA•tanB-1）•tanA•tanB=0，
∴tanA•tanB-1=0，
∴cos（A+B）=0，
∴A+B=$\frac{π}{2}$，
∴△ABC是直角三角形．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的化簡，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查三角形形狀的判斷，屬于中檔題．