Question

設(shè)
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）判斷f（x）在定義域內(nèi)是否有零點？若有，有幾個？

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2））對a進行分類討論：①當(dāng)a=0時，f（x）=lnx有1個零點；②當(dāng)a＞0時，f（x）_min=1+lna，再分情況：當(dāng)1+lna＞0，即時無零點；當(dāng)1+lna=0，即時有1個零點；當(dāng)1+lna＜0，即時有2個零點即可．
解答：解：（1）∵f（x）的定義域為（0，+∞）（1分）（2分）∴x=a（3分）
當(dāng)a=0時，f'（x）＞0，∴f（x）的單調(diào)區(qū)間為（0，+∞）且f（x）在（0，+∞）上單調(diào)增       （4分）
當(dāng)a＞0時，x∈（o，a）時，f'（x）＜0x∈（a，+∞）時，f'（x）＞0（5分）
所以f（x）的單調(diào)區(qū)間是（0，a），（a，+∞）且f（x）在（0，a）上單調(diào)減，在（a，+∞）上單調(diào)增（6分）
（2）①當(dāng)a=0時，f（x）=lnx有1個零點x=1（7分）
②當(dāng)a＞0時，f（x）_min=1+lna（8分）
當(dāng)1+lna＞0，即時無零點                                 （9分）
當(dāng)1+lna=0，即時有1個零點（10分）
當(dāng)1+lna＜0，即時有2個零點                          （11分）
∵f（a）＜0，f（x）在（0，a）上單調(diào)減，且取，當(dāng)時，，有，當(dāng)n足夠大時
∴f（x）在（0，a）上有1個零點                                      （12分）
f（x）在（a，+∞）上單調(diào)增，且f（1）=a＞0
∴f（x）在（a，+∞）上有1個零點   （13分）
所以當(dāng)a=0或時，f（x）有1個零點；當(dāng)時，f（x）有2個零點；當(dāng)時，f（x）無零點．（14分）
點評：本題是函數(shù)的綜合題，綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的零點，及分類討論思想，有一定的難度，是一道很好的函數(shù)題．