Question

9．過橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的右焦點F作斜率k=-1的直線交橢圓于A，B兩點，且$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}與\overrightarrow a=（1，\frac{1}{3}）$共線．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)P為橢圓上任意一點，且$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$（m，n∈R）證明：m²+n²為定值．

Answer 1

分析 （1）直線與橢圓方程聯(lián)立用未達(dá)定理的A、B兩點坐標(biāo)的關(guān)系，據(jù)向量共線的條件得橢圓中a，b，c的關(guān)系，從而求得橢圓的離心率
（2）用向量運算將m，n用坐標(biāo)表示，再用坐標(biāo)的關(guān)系求出m²+n²的值．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的方程為y=-x+c，代入$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，
化簡得（b²+a²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0，．
令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$．
∵$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}與\overrightarrow a=（1，\frac{1}{3}）$共線，
∴3（y₁+y₂）-（x₁+x₂）=0，又y₁=-x₁+c，y₂=-x₂+c，
∴3（-x₁-x₂+2c）-（x₁+x₂）=0，
∴x₁+x₂=$\frac{3}{2}$c．
∴$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{3}{2}$c，
∴e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（2）證明：由（1）知a²=3b²，橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$可化為x²+3y²=3b²．
設(shè)P（x，y），由已知得（x，y）=m（x₁，y₁）+n（x₂，y₂），
∴x=mx₁+nx₂，y=my₁+ny₂，
∵P（x，y）在橢圓上，
∴（mx₁+nx₂）²+3（my₁+ny₂）²=3b²．
即m²（x₁²+3y₁²）+n²（x₂²+3y₂²）+2mn（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²．①
由（1）知x₁+x₂=$\frac{3}{2}$c，x₁x₂=$\frac{3}{8}$c²．
∴x₁x₂+3y₁y₂=x₁x₂+3（x₁-c）（x₂-c）=4x₁x₂-3（x₁+x₂）c+3c²=0．
又x₁²+3y₁²=3b²，x₂²+3y₂²=3b²，
代入①得m²+n²=1．
故m²+n²為定值，定值為1．

點評 考查向量共線為圓錐曲線提供已知條件；處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系常用的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立用韋達(dá)定理．是高考常見題型且是解答題．