Question

1．已知函數(shù)f（x）=lnx+x與函數(shù)$g（x）=\frac{x}+{x^2}$有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1]
• B． （-∞，0]
• C． [0，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的定義域，結(jié)合函數(shù)有交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程有根，利用參數(shù)分離法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的取值范圍進(jìn)行求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
若函數(shù)f（x）=lnx+x與函數(shù)$g（x）=\frac{x}+{x^2}$有交點(diǎn)，
則等價(jià)為$g（x）=\frac{x}+{x^2}$=lnx+x，則（0，+∞）上有解，
即b=-x³+x²+xlnx，
設(shè)h（x）=-x³+x²+xlnx=x（-x²+x+lnx），
則m（x）=-x²+x+lnx，
則m′（x）=-2x+1+$\frac{1}{x}$=$\frac{-2{x}^{2}+x+1}{x}$=$\frac{-（x-1）（2x+1）}{x}$，
由m′（x）=$\frac{-（x-1）（2x+1）}{x}$＞0得0＜x＜1，
由m′（x）=$\frac{-（x-1）（2x+1）}{x}$＜0得x＞1，
即當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)m（x）取得極大值，同時(shí)也是最大值，m（1）=-1+1+ln1=0，
即當(dāng)x＞0時(shí)，m（x）=-x²+x+lnx≤0，
則當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）=-x³+x²+xlnx=x（-x²+x+lnx）≤0，
若b=-x³+x²+xlnx有交點(diǎn)，
則b≤0，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系，利用參數(shù)分離法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．