Question

18．已知函數(shù)f（x）=e^xlnx+$\frac{2{e}^{x-1}}{x}$-1．
（1）求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）求證：f（x）≥0恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1）=e，進(jìn)一步求得f（1）=1，則函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程可求；
（2）函數(shù)f（x）=e^xlnx+$\frac{2{e}^{x-1}}{x}$-1的定義域?yàn)椋?，+∞），把f（x）≥0變形，得到于xln x＞xe^-x-$\frac{2}{e}$．
然后利用導(dǎo)數(shù)求出左邊的最小值及右邊的最大值，則答案得證．

解答 （1）解：由f（x）=e^xlnx+$\frac{2{e}^{x-1}}{x}$-1，得f′（x）=${e}^{x}lnx+\frac{{e}^{x}}{x}+\frac{2x{e}^{x-1}-2{e}^{x-1}}{{x}^{2}}$，
∴f′（1）=e，由f（1）=${e}^{1}ln1+\frac{2{e}^{0}}{1}-1=1$，
∴函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-1=e（x-1），即為y=ex+1-e；
（2）證明：函數(shù)f（x）=e^xlnx+$\frac{2{e}^{x-1}}{x}$-1的定義域?yàn)椋?，+∞），
由（1）知，f（x）=e^xln x+$\frac{2}{x}$e^x-1-1，
從而f（x）＞0等價(jià)于xln x＞xe^-x-$\frac{2}{e}$．
設(shè)函數(shù)g（x）=xln x，
則g′（x）=1+ln x，
∴當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$）時，g′（x）＜0；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時，g′（x）＞0．
故g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調(diào)遞增，
從而g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$．
設(shè)函數(shù)h（x）=xe^-x-$\frac{2}{e}$，則h′（x）=e^-x（1-x）．
∴當(dāng)x∈（0，1）時，h′（x）＞0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0．
故h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
從而h（x）在（0，+∞）上的最大值為h（1）=-$\frac{1}{e}$．
∵g_min（x）=h（1）=h_max（x），
∴當(dāng)x＞0時，g（x）＞h（x），即f（x）＞0．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中高檔題．