Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).以為頂點(diǎn)，分別為左、右焦點(diǎn)的橢圓，恰好經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) （2）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，可使的面積最大，其最大值.

【解析】試題分析：

（1）由已知可得，橢圓的焦點(diǎn)在軸上.設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，易知，結(jié)合橢圓過點(diǎn)，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由題意可知直線的斜率存在.設(shè)直線方程為，.聯(lián)立直線方程與橢圓方程有.直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，則，，由弦長(zhǎng)公式可得，而點(diǎn)到直線的距離，據(jù)此可得面積函數(shù).換元令，，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)直線的斜率為時(shí)，可使的面積最大，其最大值.

試題解析：

（1）由已知可得，橢圓的焦點(diǎn)在軸上.

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，則，

∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

又∵橢圓過點(diǎn)，∴，解得.

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由于點(diǎn)在橢圓外，所以直線的斜率存在.

設(shè)直線的斜率為，則直線，設(shè).

由消去得，.

由得，從而，

∴.

∵點(diǎn)到直線的距離，

∴的面積為.

令，則，

∴ ，

當(dāng)即時(shí)，有最大值，，此時(shí).

所以，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，可使的面積最大，其最大值.