Question

4．$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夾角為120°，$|{\overrightarrow a}|=1$，$|{\overrightarrow b}|=3$則$|{5\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$=7；$2\overrightarrow a+\overrightarrow b$在$\overrightarrow b$方向上的投影為2．

Answer 1

分析 由$|5\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}=（5\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}$，展開(kāi)后可求得$|{5\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$；由$\frac{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+|\overrightarrow{|}^{2}}{|\overrightarrow|}$得到$2\overrightarrow a+\overrightarrow b$在$\overrightarrow b$方向上的投影．

解答 解：∵$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夾角為120°，$|{\overrightarrow a}|=1$，$|{\overrightarrow b}|=3$，
∴$|5\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}=25|\overrightarrow{a}{|}^{2}-10\overrightarrow{a}•\overrightarrow+|\overrightarrow{|}^{2}$
=25-10×1×3×cos120°+9=$25-30×（-\frac{1}{2}）+9$=49．
∴$|{5\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$=7；
$2\overrightarrow a+\overrightarrow b$在$\overrightarrow b$方向上的投影為$\frac{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+|\overrightarrow{|}^{2}}{|\overrightarrow|}$
=$\frac{2×1×3×cos120°+9}{3}$=$\frac{6}{3}=2$．
故答案為：7；2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，考查了向量在向量方向上的投影，是基礎(chǔ)題．