Question

19．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A（-1，0），B（0，$\sqrt{3}$），C（3，0），動(dòng)點(diǎn)D滿足|$\overrightarrow{CD}$|=1，
求（Ⅰ）動(dòng)點(diǎn)D的軌跡．
（Ⅱ）求|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量模的計(jì)算方法，求出D的軌跡方程，即可求出動(dòng)點(diǎn)D的軌跡．
（Ⅱ）|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|=$\sqrt{（x-1）^{2}+（y+\sqrt{3}）^{2}}$，問題轉(zhuǎn)化為圓（x-3）²+y²=1上的點(diǎn)與點(diǎn)P（1，-$\sqrt{3}$）間距離的最大值．

解答 解：（1）設(shè)D（x，y），由$\overrightarrow{CD}$=（x-3，y）及|$\overrightarrow{CD}$|=1
知（x-3）²+y²=1，（4分）
即動(dòng)點(diǎn)D的軌跡為以點(diǎn)C為圓心的單位圓． （6分）
（2）$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$=（-1，0）+（0，$\sqrt{3}$）+（x，y）=（x-1，y+$\sqrt{3}$），
∴|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|=$\sqrt{（x-1）^{2}+（y+\sqrt{3}）^{2}}$．（8分）
問題轉(zhuǎn)化為圓（x-3）²+y²=1上的點(diǎn)與點(diǎn)P（1，-$\sqrt{3}$）間距離的最大值．
∵圓心C（3，0）與點(diǎn)P（1，-$\sqrt{3}$）之間的距離為$\sqrt{（3-1）^{2}+（0+\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，（10分）
故|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|的最大值為$\sqrt{7}$+1．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．