Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），上頂點(diǎn)為B（0，1）．
（1）過(guò)點(diǎn)B作直線與橢圓C交于另一點(diǎn)A，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BF}$=0，求△ABF外接圓的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)M（2，0）作直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)G，H，設(shè)P為橢圓C上動(dòng)點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{OG}$+$\overrightarrow{OH}$=t$\overrightarrow{OP}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．當(dāng)t≥1時(shí)，求△OGH面積S的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得b=c=1，進(jìn)而得到a，可得橢圓方程，由向量垂直的條件可得A的坐標(biāo)，再由AF中點(diǎn)和半徑的定義，可得圓的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)M的直線方程為x=my+2，G，H兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，向量共線的坐標(biāo)表示，可得S的函數(shù)式，再由基本不等式，即可得到最值，進(jìn)而得到所求范圍．

解答 解：（1）由右焦點(diǎn)為F（1，0），上頂點(diǎn)為B（0，1）得b=1，c=1，
所以a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
所以橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
因?yàn)?\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BF}$=0，可求得點(diǎn)A（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{1}{3}$），
因?yàn)椤鰽BF為直角三角形，AF中點(diǎn)坐標(biāo)（-$\frac{1}{6}$，-$\frac{1}{6}$），且|AF|=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$，
所以△ABF外接圓方程為（x+$\frac{1}{6}$）²+（y+$\frac{1}{6}$）²=$\frac{25}{18}$；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)M的直線方程為x=my+2，
G，H兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$得（m²+2）y²+4my+2=0，
△=8m²-16＞0，可得m²＞2，
因?yàn)閥₁+y₂=-$\frac{4m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{2}{{m}^{2}+2}$，
所以|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{4m}{2+{m}^{2}}）^{2}-\frac{8}{2+{m}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}-2}}{2+{m}^{2}}$
由$\overrightarrow{OG}$+$\overrightarrow{OH}$=t$\overrightarrow{OP}$所以點(diǎn)P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{t}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{t}$），
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，
所以有（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{t}$）²+2（$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{t}$）²=2，
化簡(jiǎn)得[m（y₁+y₂）+4]²+2（y₁+y₂）²=2t²，
因?yàn)閥₁+y₂=-$\frac{4m}{{m}^{2}+2}$，所以得（-$\frac{4m}{{m}^{2}+2}$）²•（m²+2）+8m•（-$\frac{4m}{{m}^{2}+2}$）+16-2t²=0
化簡(jiǎn)m²=$\frac{16}{{t}^{2}}$-2，
因?yàn)閠≥1，所以2＜m²≤14，
因?yàn)镾_△OGH=$\frac{1}{2}•2•$|y₁-y₂|=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}-2}}{2+{m}^{2}}$，
令$\sqrt{{m}^{2}-2}$=t（t∈（0，2$\sqrt{3}$]），所以S_△OGH=$\frac{2\sqrt{2}t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{2\sqrt{2}}{t+\frac{4}{t}}$，
令g（t）=t+$\frac{4}{t}$，因?yàn)間（t）在t∈（0，2]上單調(diào)遞減，在t∈[2，2$\sqrt{3}$]上單調(diào)遞增，
即S_△OGH≤$\frac{2\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，當(dāng)t=2時(shí)，取得最大值．
所以△OGH面積S的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量共線定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．