Question

6．求函數(shù)y=2${\;}^{{x}^{2}-5x+6}$，x∈[1，5]的值域．

Answer 1

分析 利用配方法求出指數(shù)上x²-5x+6的范圍，然后結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得原復(fù)合函數(shù)的值域．

解答 解：令t=x²-5x+6=$（x-\frac{5}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$，
∵x∈[1，5]，∴${t}_{min}=-\frac{1}{4}，{t}_{max}=6$．
又外函數(shù)y=2^t為定義域內(nèi)的增函數(shù)，
∴當(dāng)t=$-\frac{1}{4}$時(shí)，原函數(shù)有最小值為${2}^{-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{\root{4}{2}}$；
當(dāng)t=6時(shí)，原函數(shù)有最大值為2⁶=64．
∴函數(shù)y=2${\;}^{{x}^{2}-5x+6}$，x∈[1，5]的值域?yàn)閇$\frac{1}{\root{4}{2}}，64$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合函數(shù)的值域的求法，考查利用配方法求二次函數(shù)的值域，是基礎(chǔ)題．