Question

9．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD．E，F(xiàn)分別為底邊AB和側棱PC的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：EF⊥FD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取線段DP的中點G，連接AG、FG，則FG為△PCD的中位線，從而FG∥CD且$FG=\frac{1}{2}CD$，進而四邊形AEFG為平行四邊形，由此得到EF∥AG，從而能證明EF∥平面PAD．
（Ⅱ）推導出PA⊥CD，AD⊥CD，從而CD⊥平面PAD，再推導出AG⊥平面PCD，由此能證明EF⊥FD．

解答 證明：（Ⅰ）如圖所示，取線段DP的中點G，連接AG、FG
由題意知FG為△PCD的中位線，故有FG∥CD且$FG=\frac{1}{2}CD$，
而AE∥CD，且$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$，
∴線段AE與FG平行且相等，
∴四邊形AEFG為平行四邊形，∴EF∥AG，
∵EF?平面PAD，AG⊆平面PAD，
∴由線面平行的判定定理得：EF∥平面PAD．
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，∴PA⊥CD
由四邊形ABCD為正方形，知AD⊥CD，
又PA∩AD=A且PA，AD⊆平面PAD，
∴由線面垂直的判定定理可得：CD⊥平面PAD，
∵AG?平面PAD，∴AG⊥CD，
又在Rt△PAD中，PA=AD，PG=GD，∴AG⊥PD，
而CD∩PD=D，CD，PD?平面CDP，∴AG⊥平面PCD，
由（Ⅰ）知：EF∥AG，∴EF⊥平面PCD，
又FD?平面PCD，∴EF⊥FD．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線線垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．