Question

18．如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形 ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，點G是EF的中點．
（1）證明：AG⊥平面ABCD．
（2）若直線BF與平面ACE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{9}$，求AG 的長．
（3）判斷線段AC上是否存在一點M，使MG∥平面ABF？若存在，求出$\frac{AM}{MC}$的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用面面垂直的性質(zhì)定理得到線面垂直．
（2）利用題中的已知條件建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，進一步以相面的夾角為突破口求出AG的長．
（3）首先假設(shè)存在點，進一步利用線面平行建立等量關(guān)系，利用法向量求出點的存在．

解答 證明：（1）因為：AE=AF，點G是EF的中點，
所以：AG⊥EF，
又因為：EF∥AD，
所以：AG⊥AD，
由平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，AG?平面ADEF，
所以：AG⊥平面ABCD．
（2）解：由（1）得：AG⊥平面ABCD．
所以：AG、AD、AB兩兩垂直，以A為原點，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，
且BC=2EF，AE=AF，點G是EF的中點．
所以：A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），
設(shè)AG=t（t＞0），
則：E（0，1，t），F(xiàn)（0，-1，t），
所以：$\overrightarrow{BF}=（-4，-1，t）$，$\overrightarrow{AC}=（4，4，0）$，$\overrightarrow{AE}=（0，1，t）$，
設(shè)平面ACE的法向量為：$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}=0\\ \overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}4x+4y=0\\ y=-tz\end{array}\right.$，
所以：$\overrightarrow{n}=（t，-t，1）$，
直線BF與平面ACE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{9}$，
所以：$cos＜\overrightarrow{BF}，\overrightarrow{n}＞$=$\left|\frac{\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{n}\right|\left|\overrightarrow{BF}\right|}\right|$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$
解得：t²=1或${t}^{2}=\frac{17}{2}$，
所以：AG=1，或AG=$\frac{\sqrt{34}}{2}$，
（3）解：假設(shè)線段AC上存在一點M，使MG∥平面ABF，設(shè)$\frac{AM}{AC}=λ$，
則：$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AC}$，
由$\overrightarrow{AC}=（4，4，0）$，
得：$\overrightarrow{AM}=（4λ，4λ，0）$，
設(shè)AG=t（t＞0），
則：$\overrightarrow{AG}=（0，0，t）$，
所以：$\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AM}$=（-4λ，-4λ，t），
設(shè)平面ABF的法向量為：$\overrightarrow{m}={（x}_{1}{，y}_{1}，{z}_{1}）$，
$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{m}=0\\ \overrightarrow{AB}•\overrightarrow{m}=0\end{array}\right.$，
解得：$\overrightarrow{m}=（0，t，1）$，
由于：MG∥平面ABF，
所以：$\overrightarrow{MG}•\overrightarrow{m}=0$，
即：-4λt+t=0，
解得：$λ=\frac{1}{4}$，
所以：$\frac{AM}{AC}=\frac{1}{4}$，此時$\frac{AM}{MC}=\frac{1}{3}$，
即當$\frac{AM}{MC}=\frac{1}{3}$時，MG∥平面ABF．

點評 本題考查的知識要點：面面垂直的性質(zhì)定理．空間直角坐標系，法向量的應用，線面的夾角的應用，利用向量的共線證明線面平行，存在性問題的應用．主要考查學生的空間想象能力及問題的應用能力．