Question

3．類比平面幾何中的射影定理：若直角三角形ABC中（如圖），AB、AC互相垂直，AD是BC邊的高，則AB²=BD•BC；AC²=CD•BC．若在三棱錐A-BCD中（如圖），三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，O是點A在平面BCD上的投影，則三棱錐的側(cè)面面積與它在底面上的投影面積和底面積的之間滿足的關(guān)系為S_△ABC²=S_△DBC•S_△BCO（只需填一個）

Answer 1

分析 首先猜想出結(jié)論，再進行證明：在△BCD內(nèi)，延長DO交BC于E，連接AE，利用線面垂直的判定與性質(zhì)可以證出AE⊥BC且DE⊥BC，從而AE、EO、ED分別是△ABC、△BCO、△BCD的邊BC的高線，然后在Rt△ADE中，利用已知條件的結(jié)論得到AE²=EO•ED，再變形整理得到S_△ABC²=S_△DBC•S_△BCO．

解答 解：結(jié)論：S_△ABC²=S_△DBC•S_△BCD．
證明如下
在△BCD內(nèi)，延長DO交BC于E，連接AE，
∵AD⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥AD，
同理可得：BC⊥AO
∵AD、AO是平面AOD內(nèi)的相交直線，
∴BC⊥平面AOD
∵AE、DE?平面AOD
∴AE⊥BC且DE⊥BC
∵△AED中，EA⊥AD，AO⊥DE
∴根據(jù)題中的已知結(jié)論，得AE²=EO•ED
兩邊都乘以（$\frac{1}{2}$BC）²，得（$\frac{1}{2}$BC•AE）²=（$\frac{1}{2}$BC•EO）•（$\frac{1}{2}$BC•ED）
∵AE、EO、ED分別是△ABC、△BCO、△BCD的邊BC的高線
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AE，S_△BC0=$\frac{1}{2}$BC•EO，S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•ED
∴有S_△ABC²=S_△DBC•S_△BC0．
故答案為：S_△ABC²=S_△DBC•S_△BCO．

點評 本題以平面幾何中的射影定理為例，將其推廣到空間的一個正確的命題并加以證明，著重考查了類比推理和空間的線面垂直的判定與性質(zhì)等知識點，屬于基礎(chǔ)題．