Question

6．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，長軸在x軸上，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且C上一點到C的兩個焦點的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知斜率為$\frac{1}{2}$的直線l與C相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，由離心率公式和a，bc的關(guān)系和橢圓的定義，得到方程組，解得a，b，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線為y=$\frac{1}{2}x+m$，則由題意得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，根據(jù)直線與曲線相切得△=0，求得直線．

解答 解：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，由題意$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2a=4}\end{array}\right.$解得a=2，b=1．
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$
（2）設(shè)直線為y=$\frac{1}{2}x+m$，則由題意得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$
得2x²+4mx+4m²-4=0
△=16m²-8（4m²-4）=0
解得m=$±\sqrt{2}$
故直線方程為$y=\frac{1}{2}x±\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查橢圓方程的求法，和直線與圓錐曲線的綜合問題，屬于中檔題目．