Question

11．已知過點M（1，-1）、斜率為$\frac{1}{2}$的直線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A，B兩個不同點，若點M是AB的中點，則該橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 利用點差法，結(jié)合M是線段AB的中點，斜率為$\frac{1}{2}$，即可求出橢圓C的離心率．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2，y₁+y₂=-2
A，B兩個不同點代入橢圓方程，作差整理可得$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}+\frac{-2（{y}_{1}-{y}_{2}）}{^{2}}$=0
∵斜率為$\frac{1}{2}$，∴a=$\sqrt{2}$b，
∴c=b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的離心率，考查學(xué)生的計算能力，正確運用點差法是關(guān)鍵．