Question

10．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{6}$=1與拋物線y²=2px有公共焦點(diǎn)F，雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線交于M、N兩點(diǎn)，且△MNF為等邊三角形，則p的值為（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 6

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，然后求出拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形是等邊三角形求出p即可．

解答 解：由題意，a²+6=$\frac{{p}^{2}}{4}$．
準(zhǔn)線方程與雙曲線聯(lián)立可得y=±$\frac{6}{a}$
因?yàn)椤鰽BF為等邊三角形，所以2c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{12}{a}$，即ac=3$\sqrt{3}$，
即a²（a²+6）=27，解得a²=3，
∴$\frac{{p}^{2}}{4}$=9，
∴p=6．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，雙曲線方程的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力以及計(jì)算能力．