Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx（a＞0）
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值；
（Ⅲ）若f（x）在區(qū)間（1，e）上恰有兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）可得x=$\sqrt{a}$為函數(shù)的臨界點，通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得最值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知當0＜a≤1或a≥e²時，不合題意，當1＜a＜e²時，得到不等式組，解之可得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{a}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{a}$，
∴函數(shù)f（x）在（0，$\sqrt{a}$）遞減，在（$\sqrt{a}$，+∞）遞增；
（Ⅱ）①若 $\sqrt{a}$≤1，即0＜a≤1，在（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
因此，f（x）在區(qū)間[1，e]的最小值為f（1）=$\frac{1}{2}$．
②若1＜$\sqrt{a}$＜e，即1＜a＜e²，在（1，$\sqrt{a}$）上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
在（$\sqrt{a}$，e）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，因此f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為f（$\sqrt{a}$）=$\frac{1}{2}$a（1-lna），
③若$\sqrt{a}$≥e，即a≥e²在（1，e上，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
因此，f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為f（e）=$\frac{1}{2}$e²-a．
綜上，當0＜a≤1時，f_min（x）=$\frac{1}{2}$；
當1＜a＜e²時，f_min（x）=$\frac{1}{2}$a（1-lna）；
當a≥e²時，f_min（x）=$\frac{1}{2}$e²-a．
（Ⅲ） 由（Ⅱ）可知當0＜a≤1或a≥e²時，
f（x）在（1，e）上是單調(diào)遞增或遞減函數(shù)，不可能存在兩個零點，
當1＜a＜e²時，要使f（x）在區(qū)間（1，e）上恰有兩個零點，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}a（1-lna）＜0}\\{f（1）=\frac{1}{2}＞0}\\{f（e）={\frac{1}{2}e}^{2}-a＞0}\end{array}\right.$，解得：e＜a＜$\frac{1}{2}$e²，
∴a的取值范圍為（e，$\frac{1}{2}$e²）．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的切線，涉及函數(shù)的零點和閉區(qū)間的最值，屬中檔題．