Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=

6

，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：直線AD∥平面PBC；
（Ⅱ） 求直線AD與平面PBC的距離；
（Ⅲ）若AD=3，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明直線AD∥平面PBC，只需證明AD∥BC即可；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求直線AD與平面PBC的距離，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到平面PBC的距離；
（Ⅲ）若AD=3，求出平面AEC、平面DEC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角A-EC-D的平面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：在矩形ABCD中，AD∥BC，
又AD?平面PBC，BC?平面PBC，
所以AD∥平面PBC
（Ⅱ）解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．

設(shè)D（0，a，0），則B （

6

，0，0），C（

6

，a，0），P（0，0，

6

），E（

6

2

，0，

6

2

）．
因此

AE

=（

6

2

，0，

6

2

），

BC

=（0，a，0），

PC

=（

6

，0，-

6

）．
則

AE

•

BC

=0，

AE

•

PC

=0，
因?yàn)锽C∩PC=C，
所以AE⊥平面PBC．
又由AD∥BC，知AD∥平面PBC，
故直線AD與平面PBC的距離為點(diǎn)A到平面PBC的距離，即為|

AE

|=

3

．
（Ⅲ）解：因?yàn)閨

AD

|=

3

，所以D（0，

3

，0），C（

6

，

3

，0）．
設(shè)平面AEC的法向量

n1

=（x₁，y₁，z₁），則

n1

•

AC

=0，

n1

•

AE

=0．
又

AC

=（

6

，

3

，0），

AE

=（

6

2

，0，

6

2

），故

6 x1+ 3 y1=0 6 2 x1+ 6 2 z1=0

所以y₁=-

2

x₁，z₁=-x₁．
可取x₁=-

2

，則

n1

=（-

2

，2，

2

）．
設(shè)平面DEC的法向量

n2

=（x₂，y₂，z₂），則

n2

•

DC

=0，

n2

•

DE

=0，
又

DC

=（

6

，0，0），

DE

=（

6

2

，-

3

，

6

2

），故

x2=0 6 2 x2- 3 y2+ 6 2 z2=0

所以x₂=0，z₂=

2

y₂，可取y₂=1，則

n2

=（0，1，

2

）．
故cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行的判定，考查線面角，考查面面角，考查向量法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．