Question

5．已知數(shù)列{a_n}、{b_n}，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意自然數(shù)n，總有S_n=p（a_n-1），（p是常數(shù)且p≠0，p≠1）．?dāng)?shù)列{b_n}中，b_n=2n+q（q是常數(shù)），且a₁=b₁，a₂＜b₂，求：
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）求p的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過令n=1易知${a_1}=\frac{p}{p-1}$，當(dāng)n≥2時利用a_n=S_n-S_n-1可知數(shù)列{a_n}是首項、公比均為$\frac{p}{p-1}$的等比數(shù)列，進而計算可得結(jié)論；
（2）通過（1）及a₁=b₁、a₂＜b₂，聯(lián)立二式并消去q整理、計算可知p＜$\frac{1}{2}$或p＞2，進而可得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，a₁=S₁=p（a₁-1），即${a_1}=\frac{p}{p-1}$，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=p（a_n-a_n-1），
∴（p-1）a_n=pa_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是首項、公比均為$\frac{p}{p-1}$的等比數(shù)列，
∴$a_n^{\;}=\frac{p}{p-1}•{（\frac{p}{p-1}）^{n-1}}={（\frac{p}{p-1}）^n}$；
（2）依題意，$\frac{p}{p-1}=2+q，{（\frac{p}{p-1}）^2}＜4+q$，
消去q并整理得：${（\frac{p}{p-1}）^2}-\frac{p}{p-1}-2＜0$，
解得：$-1＜\frac{p}{p-1}＜2$，
∴p＜$\frac{1}{2}$或p＞2，
∴p的取值范圍是：（-∞，0）∪（0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）．

點評 本題考查數(shù)列的通項，注意解題方法的積累，屬于中檔題．