Question

4．求函數(shù)y=x²+|x-a|+1，（a是實數(shù)）的最小值．

Answer 1

分析 將函數(shù)化簡為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^{2}-a+\frac{3}{4}，x≥a}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}+a+\frac{3}{4}，x＜a}\end{array}\right.$，分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的最值，可得函數(shù)的最小值．

解答 解：f（x）=x²+|x-a|+1=$\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^{2}-a+\frac{3}{4}，x≥a}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}+a+\frac{3}{4}，x＜a}\end{array}\right.$，
①當(dāng)a≥$\frac{1}{2}$時，
f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=a+$\frac{3}{4}$，
②當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$時，
f（x）_min=f（a）=a²+1，
③當(dāng)a≤-$\frac{1}{2}$時，
f（x）_min=f（-$\frac{1}{2}$）=-a+$\frac{3}{4}$，
綜上所述，
f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{a+\frac{3}{4}，a≥\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}+1，-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}}\\{-a+\frac{3}{4}，a≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了分段函數(shù)的最小值的求法，注意運用二次函數(shù)的最值求法，運用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．