Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為；直線的參數(shù)方程為，（ 為參數(shù)）.直線與曲線分別交于、兩點(diǎn).

（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；

（2）若點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，，求的值.

Answer 1

【答案】(1) 曲線的直角坐標(biāo)方程為，直線的普通方程為.(2)

【解析】

(1)由極坐標(biāo)與普通方程互化，參數(shù)方程與普通方程互化直接求解即可；（2）將直線的參數(shù)方程代入，由韋達(dá)定理結(jié)合t的幾何意義即可求解

（1）由，得，

所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，

由直線的參數(shù)方程得直線的普通方程為.

（2）將直線的參數(shù)方程代入，

化簡并整理，得.

因?yàn)橹本�與曲線分別交于、兩點(diǎn)，所以，

解得，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得

，，

又因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)辄c(diǎn)的直角坐標(biāo)為，且在直線上，

所以，

解得，此時(shí)滿足，故.