Question

拋物線y²=8x上有一點P(2,4),以點P為一個頂點,作拋物線的內接△PQR,使得△PQR的重心恰好是拋物線的焦點,求QR所在直線的方程.

Answer 1

分析：P點恰好在焦點F(2,0)的正上方,因為F為△PQR的重心,所以QR的中點為M(2,-2),將該問題轉化為已知QR的中點求弦所在直線方程的問題.

解:拋物線y²=8x的焦點為F(2,0).

∵F為△PQR的重心,

∴QR的中點為M(2,-2),如圖.

設Q(x₁,y₁)、R(x₂,y₂),

則有

①－②,得y₁²-y₂²=8(x₁-x₂).

又y₁+y₂=-4,

∴直線QR的斜率為

∴所求弦QR所在直線的方程為

y+2=-2(x-2),

即2x+y-2=0.

綠色通道：

所謂“設而不求”就是解題時,把題目中某些相關的坐標先設出來,但在解題中并不求它的具體值,只要它作為解題過程中的“橋梁”,使問題快速獲解.