Question

19．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率e=$\frac{1}{2}$，且經(jīng)過點(diǎn)M（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F₂，且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，使得$\overrightarrow{{F_1}A}•\overrightarrow{{F_1}B}$=1，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，由離心率$e=\frac{1}{2}$，且經(jīng)過點(diǎn)$M（{1，\frac{3}{2}}）$，能求出a²=4，b²=3，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），代入橢圓C的方程，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，
由題意得$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$且$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，
解得a²=4，b²=3，
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），代入橢圓C的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
化簡(jiǎn)得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$①
又${F_1}（{-1，0}），\overrightarrow{{F_1}A}•\overrightarrow{{F_1}B}=（{{x_1}+1，{y_1}}）（{{x_2}+1，{y_2}}）=（{{x_1}+1}）（{{x_2}+1}）+{y_1}{y_2}$，
其中y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）．
所以$\overrightarrow{{F_1}A}•\overrightarrow{{F_1}B}=（{{x_1}+1}）（{{x_2}+1}）+{k^2}（{{x_1}-1}）（{{x_2}-1}）$
=$（{1+{k^2}}）{x_1}{x_2}+（{1-{k^2}}）（{{x_1}+{x_2}}）+1+{k^2}$，
把①代入上式可解得k=±2，
所以直線l的方程為y=±2（x-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程、直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、韋達(dá)定理、向量的數(shù)列積的性質(zhì)的合理運(yùn)用．