Question

【題目】直三棱柱中, 分別是的中點, 且,

(1)證明: .

(2)棱上是否存在一點,使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為若存在,說明點的位置,若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）點D為A1B1中點

【解析】試題分析：（1）由直三棱柱性質(zhì)可得AB⊥AA1,根據(jù)條件可得AB⊥AE.最后根據(jù)線面垂直判定定理證明結(jié)論（2）研究二面角大小一般利用空間向量數(shù)量積，即先建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解各面法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，根據(jù)法向量夾角與二面角關系建立方程，解出點的坐標，確定其位置

試題解析：(1)∵AE⊥A1B1,A1B1∥AB,

∴AB⊥AE.

又∵AB⊥AA1,AE∩AA1=A,

∴AB⊥平面A1ACC1.

(2) ∵ AB⊥平面A1ACC1.

又∵AC平面A1ACC1,

∴AB⊥AC.

以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz.

則A(0,0,0),E,F,0,A1(0,0,1),B1(1,0,1).

假設存在, =λ,且λ∈[0,1],

∴D(λ,0,1).

設平面DEF的法向量為n=(x,y,z),

則

∵,

∴

即

令z=2(1-λ),

∴n=(3,1+2λ,2(1-λ)).

由題可知平面ABC的一個法向量m=(0,0,1).

∵平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為,

∴|cos(m,n)|=,

即.

∴λ=或λ= (舍),

∴當點D為A1B1中點時,滿足要求.