Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²+e^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）與g（x）=x²+ln（x+a）圖象上存在關于y軸對稱的點，則a的取值范圍是（-∞，$\sqrt{e}$）．

Answer 1

分析 由題意可得，存在x＜0使f（x）-g（-x）=0，即e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）=0在（-∞，0）上有解，從而化為函數(shù)m（x）=e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）在（-∞，0）上有零點，從而求解．

解答 解：若函數(shù)f（x）=x²+e^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）與g（x）=x²+ln（x+a）圖象上存在關于y軸對稱的點，
則等價為f（x）=g（-x），在x＜0時，方程有解，
即x²+e^x-$\frac{1}{2}$=x²+ln（-x+a），
即e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）=0在（-∞，0）上有解，
令m（x）=e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a），
則m（x）=e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）在其定義域上是增函數(shù)，
且x→-∞時，m（x）＜0，
若a≤0時，x→a時，m（x）＞0，
故e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）=0在（-∞，0）上有解，
若a＞0時，
則e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）=0在（-∞，0）上有解可化為
e⁰-$\frac{1}{2}$-ln（a）＞0，
即lna＜$\frac{1}{2}$，
故0＜a＜$\sqrt{e}$．
綜上所述，a∈（-∞，$\sqrt{e}$）．
故答案為：（-∞，$\sqrt{e}$）．

點評 本題考查函數(shù)與方程的應用，根據(jù)函數(shù)的圖象與方程的根及函數(shù)的零點之間的關系，進行轉化是解決本題的關鍵．，綜合性較強，難度較大．