Question

19．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若$acosB=\frac{C}{2}，|{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}|=|{\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}}|$，則△ABC為（　�。�

• A． 等邊三角形
• B． 等腰直角三角形
• C． 銳角三角形
• D． 鈍角三角形

Answer 1

分析 設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由余弦定理、向量知識(shí)推導(dǎo)出a=b，CD=AD=BD，由此能求出△ABC為等腰直角三角形．

解答 解：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，
∵在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，
$acosB=\frac{c}{2}，|{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}|=|{\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}}|$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a×\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}=\frac{c}{2}}\\{CD=\frac{1}{2}AB}\end{array}\right.$，
整理，得a=b，CD=AD=BD，
∴△ABC為等腰直角三角形．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形形狀的判斷，考查余弦定理、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．