Question

6．某學(xué)生參加3門課程的考試，假設(shè)該學(xué)生第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為$\frac{3}{4}$，第二門、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為p，q（p＞q），且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相可獨(dú)立，記X為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，已知p（X=0）=P（X=3）=$\frac{3}{32}$．
（1）求p、q的值；
（2）求X的數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）用A表示“該生第一門課程取得優(yōu)秀成績”，用B表示“該生第二門課程取得優(yōu)秀成績”，用C表示“該生第三門課程取得優(yōu)秀成績”，由題意得P（$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$）=（1-$\frac{3}{4}$）（1-p）（1-q）=$\frac{3}{32}$，P（ABC）=$\frac{3}{4}$pq=$\frac{3}{32}$，由此能求出p，q．
（2）由題設(shè)知X的可能取值為0，1，2，3，分別求出其概率，由此能夠求出數(shù)學(xué)期望E（X）．

解答 解：（1）用A表示“該生第一門課程取得優(yōu)秀成績”，用B表示“該生第二門課程取得優(yōu)秀成績”，用C表示“該生第三門課程取得優(yōu)秀成績”，
由題意得P（A）=$\frac{3}{4}$，P（B）=p，P（C）=q，p＞q，
P（$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$）=（1-$\frac{3}{4}$）（1-p）（1-q）=$\frac{3}{32}$，
P（ABC）=$\frac{3}{4}$pq=$\frac{3}{32}$，
解得p=$\frac{1}{2}$，q=$\frac{1}{4}$．
（2）由題設(shè)知X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{3}{32}$，
P（X=1）=$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{4}$）+（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{4}$）+（1-$\frac{3}{4}$）×（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{4}$=$\frac{13}{32}$，
P（X=2）=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{4}$）+$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{4}$+（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{13}{32}$，
P（X=3）=$\frac{3}{32}$，
∴E（X）=0×$\frac{3}{32}$+1×$\frac{13}{32}$+2×$\frac{13}{32}$+3×$\frac{3}{32}$=1.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，是歷年高考的必考題型之一．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)和概率知識(shí)的靈活運(yùn)用．