Question

12．已知函數(shù)f（x）=|x-a|，關(guān)于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤2的解集為{x|1≤x≤2}，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 通過(guò)對(duì)h（x）=f（2x+a）-2f（x）取絕對(duì)值符號(hào)，觀察分段函數(shù)，分a＜0、a＞0、a=0三種情況討論即可．

解答 解：設(shè)h（x）=f（2x+a）-2f（x），
則h（x）=|2x+a-a|-2|x-a|=2|x|-2|x-a|，
①當(dāng)a＜0時(shí)，去絕對(duì)值符號(hào)，得h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2a，}&{x≥0}\\{-4x+2a，}&{a＜x＜0}\\{-2a，}&{x≤a}\end{array}\right.$，
由|h（x）|≤2得|-4x+2a|≤2，
即$\frac{a-1}{2}$≤x≤$\frac{a+1}{2}$，
又已知關(guān)于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-1}{2}=1}\\{\frac{a+1}{2}=2}\end{array}\right.$，
故a=3，這與a＜0矛盾，故此時(shí)不滿足題意；
②當(dāng)a≥0時(shí)，去絕對(duì)值符號(hào)，得h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2a，}&{x≤0}\\{4x-2a，}&{0＜x＜a}\\{2a，}&{x≥a}\end{array}\right.$，
由|h（x）|≤2得|4x-2a|≤2，
即$\frac{a-1}{2}$≤x≤$\frac{a+1}{2}$，
又已知關(guān)于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-1}{2}=1}\\{\frac{a+1}{2}=2}\end{array}\right.$，
故a=3；
③當(dāng)a=0時(shí)，易得不滿足題意；
綜上所述，a=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解不等式，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．