Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{5x，x＞0}\\{-2，x=0}\\{（x+3）^{\frac{1}{2}}，x＜0}\end{array}\right.$，b=f（f（f（0））），若y=x^a-b是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，則自然數(shù)a=1或3．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得b的值，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)分析可得a-b＜0且為偶數(shù)，又由b=5且a為自然數(shù)，分析可得a的值．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{5x，x＞0}\\{-2，x=0}\\{（x+3）^{\frac{1}{2}}，x＜0}\end{array}\right.$，
則b=f（f（f（0））=f（f（-2））=f（1）=5，
若y=x^a-b是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，則有a-b＜0且為偶數(shù)，
又由b=5且a為自然數(shù)，
則a=1或3，
故答案為：1或3．

點評 本題考查冪函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握冪函數(shù)的單調(diào)性．奇偶性與指數(shù)的關(guān)系．