Question

17．如圖，已知直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1）．
（1）求AB直線方程；
（2）求p的值．

Answer 1

分析 （1）由D的坐標(biāo)求出OD所在直線的斜率，進(jìn)一步得到AB所在直線的斜率，由直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（2）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，由OA⊥OB得到A，B橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，化為關(guān)于y的方程后利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．

解答 解：（1）∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1），∴${k}_{OD}=\frac{1}{2}$，
又AB⊥OD，且AB過D（2，1），
∴AB：y-1=-2（x-2），整理得：2x+y-5=0；
（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)（x₁，y₁），點(diǎn)B的坐標(biāo)（x₂，y₂），
由OA⊥OB得：x₁x₂+y₁y₂=0，
由（1）知AB的直線方程為y=-2x+5
∴y₁y₂-（y₁+y₂）+5=0，①
聯(lián)立y=-2x+5與y²=2px，消去x得：y²+py-5p=0，
y₁+y₂=-p，y₁y₂=-5p，②
把②代入解得$p=\frac{5}{4}$，經(jīng)檢驗(yàn)$p=\frac{5}{4}$滿足△＞0．
∴p=$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，平面解析式的基礎(chǔ)知識．考查了考生的基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用和知識遷移的能力．是中檔題．