Question

19．下列命題正確的個(gè)數(shù)有（　�。�
（1）命題“p∧q為真”是命題“p∨q為真”的必要不充分條件
（2）命題“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“對(duì)?x∈R，均有x²+x+1＞0”
（3）函數(shù)f（x）=2x²-4x+1（x∈R），若f（x₁）=f（x₂），且x₁＞x₂，則$\frac{x_1^2+x_2^2}{{{x_1}-{x_2}}}$的最小值為2
（4）在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n項(xiàng)和，且滿足S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2，則{a_n}是等比數(shù)列．

• A． 3個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 1個(gè)
• D． 0個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)充要條件的定義及復(fù)合命題真假判斷的真值表，可判斷（1）；根據(jù)存在性命題的否定，可判斷（2）；根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出$\frac{x_1^2+x_2^2}{{{x_1}-{x_2}}}$的最小值可判斷（3）；根據(jù)等比數(shù)列的定義，可判斷（4）．

解答 解：若命題“p∧q為真”，則p，q均為真，此時(shí)“p∨q為真”，
若“p∨q為真”，則p，q存在真命題，但命題“p∧q為真”不一定成立，
故命題“p∧q為真”是命題“p∨q為真”的充分不必要條件，故（1）錯(cuò)誤；
命題“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“對(duì)?x∈R，均有x²+x+1≥0”，故（2）錯(cuò)誤；
函數(shù)f（x）=2x²-4x+1（x∈R），若f（x₁）=f（x₂），且x₁＞x₂，則x₁與x₂關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則x₁+x₂=2，則$\frac{x_1^2+x_2^2}{{{x_1}-{x_2}}}$=$\frac{{x}_{1}^{2}+{（2-{x}_{1}）}_{\;}^{2}}{{x}_{1}-（2-{x}_{1}）}$=$\frac{{x}_{1}^{2}-2{x}_{1}+2}{{x}_{1}-1}$=${x}_{1}-1+\frac{1}{{x}_{1}-1}$≥2$\sqrt{（{x}_{1}-1）•\frac{1}{{x}_{1}-1}}$=2，
當(dāng)且僅當(dāng)x₁=2時(shí)，取等號(hào)，故（3）正確；
在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n項(xiàng)和，且滿足S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2，則S_n=$\frac{1}{2}$S_n-1+2，兩式相減得：a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，（n≥2），則數(shù)列從第三項(xiàng)開始，是公比為$\frac{1}{2}$，但前兩項(xiàng)不符號(hào)，故（4）錯(cuò)誤；
故正確的命題的個(gè)數(shù)為1個(gè)，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷為載體，考查了復(fù)合命題，充要條件，特稱命題，二次函數(shù)的性質(zhì)，等比數(shù)列的定義等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．