Question

9．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+4在x=0處取得極值．
（Ⅰ）b的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=-3時(shí)，若函數(shù)f（x）≥c²-10c在區(qū)間[-2，2]上恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=e^x$•\frac{f′（x）}{x}$，求g（x）在[0，1]上的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+4在x=0處取得極值，即可求出b的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=-3時(shí)，求出函數(shù)f（x）的最小值-16，根據(jù)-16≥c²-10c在區(qū)間[-2，2]上恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=e^x$•\frac{f′（x）}{x}$，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求g（x）在[0，1]上的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²+bx+4，
∴f′（x）=3x²+2ax+b…（1分）
又∵函數(shù)f（x）=0在x=0處取得極值
∴f′（0）=b=0；　　　　　　              …（2分）
（Ⅱ） 當(dāng)a=-3時(shí)，f（x）=x³-3x²+4
∴f′（x）=3x²-6x=0
得x=0或x=2                  …（3分）
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如表

x	-2	（-2，0）	0	（0，2）	2
f′（x）		+	0	-
f（x）	-16	↗	極大值4	↘	0

由表可知，當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）取得最小值f（-2）=-16           …（5分）
∵函數(shù)f（x）≥c²-10c在區(qū)間[-2，2]上恒成立，
∴-16≥c²-10c，解得2≤c≤8；           …（7分）
（Ⅲ）∵g（x）=e^x$•\frac{f′（x）}{x}$=e^x（3x+2a），
∴g′（x）=e^x（3x+2a+3），x∈[0，1]…（8分）
①當(dāng)a≤-3時(shí)，-$\frac{2a+3}{3}$≥1，
∴x∈[0，1]時(shí)，g′（x）≤0，
∴g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，1]；                …（9分）
②當(dāng)-3＜a＜-$\frac{3}{2}$時(shí)，0＜-$\frac{2a+3}{3}$＜1
當(dāng)x∈（0，-$\frac{2a+3}{3}$）時(shí)，g′（x）＜0，∴g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，-$\frac{2a+3}{3}$），
當(dāng)x∈（-$\frac{2a+3}{3}$，1）時(shí)，g′（x）＞0，∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（-$\frac{2a+3}{3}$，1），…（11分）
③當(dāng)a≥-$\frac{3}{2}$時(shí)，-$\frac{2a+3}{3}$≤0
∴當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，g′（x）≥0，
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，1]…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的極值與最小值，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．