Question

已知圓O：x²+y²=4和點M（1，a）．

（1）若過點M有且只有一條直線與圓O相切，求正數(shù)a的值，并求出切線方程；

（2）若a=，過點M的圓的兩條弦AC，BD互相垂直．

①求四邊形ABCD面積的最大值；②求|AC|+|BD|的最大值．

　

Answer 1

 解：（1）由條件知點M在圓O上，所以1+a²=4，則a=，

由a＞0，則a=，點M為（1，），k_OM=，切線的斜率為﹣，

此時切線方程為y﹣=﹣（x﹣1），即x+y﹣4=0；

（2）設(shè)O到直線AC，BD的距離分別為d₁，d₂，

則d₁²+d₂²=|OM|²=3，于是|AC|=2，|BD|=2，

①S_ABCD=|AC|•|BD|=2•≤4﹣d₁²+4﹣d₂²=8﹣3=5，

當且僅當d₁=d₂=時取等號，

即四邊形ABCD面積的最大值為5；

②|AC|+|BD|=2+2，

則（|AC|+|BD|）²=4（4﹣d₁²+4﹣d₂²+2•）

=4（5+2）=4（5+2）

因為2d₁d₂≤d₁²+d₂²=3，所以d₁²d₂²≤，當且僅當d₁=d₂=時取等號，

所以≤，所以（|AC|+|BD|）²≤4（5+2×）=40，

所以|AC|+|BD|≤2，

即|AC|+|BD|的最大值為2．