Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{e^x}+ax+b，x＜1\\{x^2}lnx-cx+c+1，x≥1\end{array}$（a，b，c∈R且為常數(shù)），函數(shù)f（x）在x=0處取得極值1．
（1）若對(duì)任意的x∈（-∞，1）都有f（x）≤f（2），求c的取值范圍；
（2）若方程f（x）=1在區(qū)間（-∞，2]上有且僅有3個(gè)根，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x＜1時(shí)，求導(dǎo)f′（x）=-e^x+a，從而可得f′（0）=0，f（0）=1，從而解出a=1，b=2，代入可得x＜1時(shí)，f（x）=-e^x+x+2，f′（x）=-e^x+1，從而討論函數(shù)的單調(diào)性從而求出最大值，從而求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（2）由（1）知道方程f（x）=1在區(qū)間（-∞，1）有一個(gè)根，從而化為方程f（x）=1在區(qū)間[1，2]上有且僅有兩個(gè)根；再由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判定定理確定函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而求出方程的根的個(gè)數(shù)，從而求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）=-e^x+a，
由f′（0）=0，f（0）=1解得a=1，b=2，
所以，x＜1時(shí)，f（x）=-e^x+x+2，f′（x）=-e^x+1，
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)y=f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)y=f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
所以，f（x）在區(qū)間（-∞，1）上的最大值是f（0）=1，
即f（2）≥1，得c≤4ln2，
即實(shí)數(shù)c的取值范圍是（-∞，4ln2]；
（2）由（1）知道方程f（x）=1在區(qū)間（-∞，1）有一個(gè)根，
所以方程f（x）=1在區(qū)間[1，2]上有且僅有兩個(gè)根．
當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）=2xlnx+x-c在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，
又f（1）=1，f′（1）=1-c，f′（2）=4ln2+2-c，
所以①c≤1時(shí)，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）＞1，方程f（x）=1在區(qū)間[1，2]上有且僅有一個(gè)根；
②c≥4ln2+2時(shí)，f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）＜1方程f（x）=1在區(qū)間[1，2]上有且僅有一個(gè)根；
③當(dāng)1＜c＜4ln2+2時(shí)，f′（1）＜0，f′（2）＞0，存在唯一x₀∈（1，2）使得f′（x₀）=0，
此時(shí)f（x）在區(qū)間（1，x₀）上遞減，在區(qū)間（x₀，2）上遞增，
方程f（x）=1在區(qū)間[1，2]上有且僅有兩個(gè)根等價(jià)于f（2）≥1，
即1＜c≤4ln2．
綜上，實(shí)數(shù)c的取值范圍是（1，4ln2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用，屬于中檔題．