Question

16．在△ABC中個，求證：a²sin2B+b²sin2A=2absinC．

Answer 1

分析 由條件利用正弦定理、三角恒等變換化簡等式的左邊為8R²sinAsinBsinC，利用正弦定理化簡等式的右邊也等于8R²sinAsinBsinC，從而得出結(jié)論．

解答 證明：在△ABC中，由正弦定理可得 $\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2R，
可得：左邊=a²sin2B+b²sin2A
=2R²（2sin²2Asin2B+2sin²Bsin2A）
=2R²[（1-cos2A）sin2B+（1-cos2B）sin2A]
=2R²[sin2B+sin2A-（sin2Bcos2A+cos2Bsin2A）]
=2R²[sin2B+sin2A-sin（2A+2B）]
=2R²[2sin（A+B）cos（A-B）-2sin（A+B）cos（A+B）]
=4R²sin（A+B）[cos（A-B）-cos（A+B）]
=4R²sin（A+B）[2sinAsinB]
=8R²sinAsinBsinC
=2absinC=右邊．
故原題得證．

點評 本題主要考查正弦定理及應(yīng)用，注意邊化為角，考查二倍角的正弦以及兩角和的正弦公式，考查運算化簡能力，屬于基礎(chǔ)題．