Question

8．設P_n=（1-x）^2n-1，Q_n=1-（2n-1）x+（n-1）（2n-1）x²，x∈R，n∈N^*
（1）當n≤2時，試指出P_n與Q_n的大小關系；
（2）當n≥3時，試比較P_n與Q_n的大小，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）分n=1和n=2兩種情況進行解答；
（2）分類討論：x=0，x＞0和x＜0三種情況．利用復合函數(shù)的單調(diào)性進行解答即可．

解答 解：（1）當n=1時，P_n=1-x，Q_n=1-x，則P_n=Q_n；
當n=2，x=0時，P_n=1，Q_n=1，則P_n=Q_n；
當n=2，x＞0時，P_n=（1-x）³=1-3x+3x²-x³，Q_n=1-3x+3x²，則P_n-Q_n=-x³＜0，所以P_n＜Q_n；
當n=2，x＜0時，P_n-Q_n=-x³＞0，所以P_n＞Q_n；
（2）當n≥3時，①當x=0時，P_n=Q_n；
②當x≠0時，令F（x）=1-（2n-1）x+（n-1）（2n-1）x²，
則F′（x）=-（2n-1）（1-x）^2n-2+（2n-1）-2（n-1）（2n-1）x，
F″（x）=（2n-1）（2n-2）（1-x）^2n-3-2（n-1）（2n-1）=（2n-1）（2n-2）（1-x）^2n-3-1．
當x＞0時，F(xiàn)″（x）＜0．F″（x）單調(diào)遞減；
當x＜0時，F(xiàn)″（x）＞0．F″（x）單調(diào)遞增；
∴F′（x）＜F′（0）=0，
∴F（x）單調(diào)遞減；
當x＞0時，F(xiàn)（x）＜F（0）=0，
當x＜0時，F(xiàn)（x）＞F（0）=0，
∴當x＞0時，P_n＜Q_n．
當x＜0時，P_n＞Q_n．

點評 本題考查了不等式比較大�。�
總結：不等式大小比較的常用方法．
（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果；
（2）作商（常用于分數(shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；
（7）尋找中間量或放縮法；
（8）圖象法．其中比較法（作差、作商）是最基本的方法．