Question

17．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，且函數(shù)f（x）的最小正周期為$\frac{π}{2}$．
（1）若函數(shù)f（x）在x=$\frac{π}{3}$處取到最小值-2，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若將函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由已知利用周期公式可求ω，可求A，$\frac{4π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z．結(jié)合范圍0＜φ＜π，可求φ的值，即可得解函數(shù)解析式．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的奇偶性可求φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，結(jié)合范圍0＜φ＜π，可求φ，從而可求函數(shù)解析式，進而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可計算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵由函數(shù)f（x）的最小正周期為$\frac{π}{2}$，有ω=$\frac{2π}{T}$=4．…（1分）
又∵函數(shù)f（x）在x=$\frac{π}{3}$處取到最小值-2，
∴A=2，f（$\frac{π}{3}$）=-2，…（2分）
即$\frac{4π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z．
又∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{6}$…（5分）
∴從而f（x）=2sin（4x+$\frac{π}{6}$）．          …（6分）
（2）∵f（x）=Asin（4x+φ），
∴則將函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），
再將向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到的偶函數(shù)y=Asin（2x+$\frac{π}{3}$+φ）的圖象．…（8分）
由$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，有φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z   …（9分）
又∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴故f（x）=Asin（4x+$\frac{π}{6}$），…（10分）
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．…（12分）

點評 本題主要考查了周期公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．