Question

2．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{6}$x³+x²-ae^x+2．
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在x=0處的切線方程；
（2）設函數(shù)y=f（x）在（a，b）上的導函數(shù)為f′（x），f′（x）在（a，b）上的導函數(shù)為f″（x）．若在（a，b）上，f″（x）＞0，則稱函數(shù)在上為“凹函數(shù)”．若函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{6}$x³+x²-ae^x+2是R上的“凹函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由斜截式方程，即可得到切線方程；
（2）求出f（x）的導數(shù)，再求導數(shù)，由題意可得二階導數(shù)大于0恒成立，由參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)求得最小值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{6}$x³+x²-e^x+2的導數(shù)為
f′（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x-e^x，
即有曲線y=f（x）在x=0處的切線斜率為k=-1，
切點為（0，1），
則曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為y=-x+1；
（2）函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{6}$x³+x²-ae^x+2的導數(shù)為
f′（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x-ae^x，
f″（x）=-x+2-ae^x．
由函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{6}$x³+x²-ae^x+2是R上的“凹函數(shù)”，
可得f″（x）＞0恒成立，
即有a＜$\frac{2-x}{{e}^{x}}$的最小值，
由函數(shù)y=$\frac{2-x}{{e}^{x}}$的導數(shù)為y′=$\frac{x-3}{{e}^{x}}$，
當x＞3時，函數(shù)的導數(shù)大于0，函數(shù)遞增；
當x＜3時，喊話說的導數(shù)小于0，函數(shù)遞減．
即有x=3處，函數(shù)y取得最小值，且為-e^-3．
則a＜-e^-3．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查新定義的理解和運用，同時考查不等式恒成立問題的解法，屬于中檔題．