Question

18．關(guān)于x的一元二次方程x²+2（m+3）x+2m+14=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，且一根大于3，一根小于1，則m的取值范圍是（-∞，-$\frac{21}{4}$）．

Answer 1

分析 若關(guān)于x的一元二次方程x²+2（m+3）x+2m+14=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，且一根大于3，一根小于1，則函數(shù)f（x）=x²+2（m+3）x+2m+14的兩個(gè)零點(diǎn)一個(gè)大于3，一個(gè)小于1，由函數(shù)f（x）=x²+2（m+3）x+2m+14的圖象是開(kāi)口朝上的拋物線，可得$\left\{\begin{array}{l}f（3）＜0\\ f（1）＜0\end{array}\right.$，進(jìn)而可得m的取值范圍．

解答 解：若關(guān)于x的一元二次方程x²+2（m+3）x+2m+14=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，且一根大于3，一根小于1，
則函數(shù)f（x）=x²+2（m+3）x+2m+14的兩個(gè)零點(diǎn)一個(gè)大于3，一個(gè)小于1，
由函數(shù)f（x）=x²+2（m+3）x+2m+14的圖象是開(kāi)口朝上的拋物線，
故$\left\{\begin{array}{l}f（3）＜0\\ f（1）＜0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}8m+41＜0\\ 4m+21＜0\end{array}\right.$，
解得：m∈（-∞，-$\frac{21}{4}$），
故答案為：（-∞，-$\frac{21}{4}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，方程根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，難度中檔．