Question

6．在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$的正方形，AA₁=3，E是AA₁的中點(diǎn)，過C₁作C₁F⊥平面BDE與平面ABB₁A₁交于點(diǎn)F，則$\frac{AF}{A{A}_{1}}$=$\frac{5}{9}$．

Answer 1

分析 連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，當(dāng)C₁F與EO垂直時(shí)，C₁F⊥平面BDE，
從而F∈AA₁，△C₁A₁F∽△EAO，由此能求出$\frac{AF}{{AA}_{1}}$的值．

解答 解：連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是正方形，AA₁⊥底面ABCD，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
則當(dāng)C₁F與EO垂直時(shí)，C₁F⊥平面BDE，
∵F∈平面ABB₁A₁，∴F∈AA₁，
 在矩形ACC₁A₁中，△C₁A₁F∽△EAO，
則$\frac{{{A}_{1}C}_{1}}{{A}_{1}F}$=$\frac{AE}{AO}$，
∵A₁C₁=2AO=$\sqrt{2}$AB=2，AE=$\frac{3}{2}$，AA₁=3，
∴A₁F=$\frac{4}{3}$，∴AF=$\frac{5}{3}$，∴$\frac{AF}{{AA}_{1}}$=$\frac{5}{9}$．
故答案為：$\frac{5}{9}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩線段的比值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．