Question

5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知$csinA=\sqrt{3}acosC$，（a-c）（a+c）=b（b-c），函數(shù)$f（x）=2sinxcos（\frac{π}{2}-x）-\sqrt{3}sin（π+x）cosx+sin（\frac{π}{2}+x）cosx$
（1）求函數(shù)y=f（x）的周期和對(duì)稱軸方程；
（2）求f（B）的值．

Answer 1

分析 （1）利用誘導(dǎo)公式，二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得對(duì)稱軸方程
（2）利用正余弦定理求解出A，B的角的大小即可求出f（B）的值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=2sinxcos（\frac{π}{2}-x）-\sqrt{3}sin（π+x）cosx+sin（\frac{π}{2}+x）cosx$，
化簡可得：$f（x）=2{sin^2}x+\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x={sin^2}x+\sqrt{3}sinxcosx+1$=$\frac{1-cos2x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+1=sin（{2x-\frac{π}{6}}）+\frac{3}{2}$，
（1）∴函數(shù)f（x）的周期T$\frac{2π}{2}$═π．
對(duì)稱軸方程：令$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z，則x=\frac{π}{3}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$．
故對(duì)稱軸方程為$x=\frac{π}{3}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$．
（2）∵$csinA=\sqrt{3}acosC$，
正弦定理，得：$sinCsinA=\sqrt{3}sinAcosC$，
化簡得$tanC=\sqrt{3}$，
∵0＜C＜π，
∴$C=\frac{π}{3}$，
又∵（a-c）（a+c）=b（b-c），
可得：a²=b²+c²-bc=b²+c²-2bccosA，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
得：$A=\frac{π}{3}$，
故$B=π-A-C=\frac{π}{3}$．
∴$f（B）=sin（{\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}}）+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．同時(shí)考查了正余弦定理的運(yùn)用和計(jì)算能力．屬于中檔題．