Question

8．設函數f（x）是定義在（-∞，+∞）上的減函數，當不等式組$\left\{\begin{array}{l}{f（1+kx-{x}^{2}）＞f（k+2）}\\{f（3kx-1）＞f（1+kx-{x}^{2}）}\end{array}\right.$對任意的x∈[0，1]都成立時，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 根據函數的單調性，將不等式組$\left\{\begin{array}{l}{f（1+kx-{x}^{2}）＞f（k+2）}\\{f（3kx-1）＞f（1+kx-{x}^{2}）}\end{array}\right.$對任意的x∈[0，1]都成立，轉化為$\left\{\begin{array}{l}1+kx-{x}^{2}＜k+2\\ 3kx-1＜1+kx-{x}^{2}\end{array}\right.$對任意的x∈[0，1]都成立，結合二次函數的圖象和性質，可得k的取值范圍．

解答 解：∵函數f（x）是定義在（-∞，+∞）上的減函數，
若不等式組$\left\{\begin{array}{l}{f（1+kx-{x}^{2}）＞f（k+2）}\\{f（3kx-1）＞f（1+kx-{x}^{2}）}\end{array}\right.$對任意的x∈[0，1]都成立，
則$\left\{\begin{array}{l}1+kx-{x}^{2}＜k+2\\ 3kx-1＜1+kx-{x}^{2}\end{array}\right.$對任意的x∈[0，1]都成立，
即$\left\{\begin{array}{l}（1-x）k+{x}^{2}+1＞0\\ 2kx+{x}^{2}-2＜0\end{array}\right.$對任意的x∈[0，1]都成立，
則$\left\{\begin{array}{l}k+1＞0\\-2＜0\\ 2＞0\\ 2k-1＜0\end{array}\right.$，
解得：k∈（-1，$\frac{1}{2}$）

點評 本題考查了函數的單調性的判斷及性質，同時考查了恒成立問題，屬于中檔題．