Question

【題目】如圖所示，橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在軸上，且在拋物線的準(zhǔn)線上，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過焦點(diǎn)，作兩條平行直線分別交橢圓于，，，四個(gè)點(diǎn).求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（1）拋物線的準(zhǔn)線可得到，當(dāng)點(diǎn)在短軸頂點(diǎn)時(shí)面積最大，根據(jù)面積即可求出，即可求出，即可寫出橢圓方程。

（2）根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知道四邊形為平行四邊形，即，又，，設(shè)出直線與橢圓聯(lián)立，即可得到，，代入，即可求出的最大值.

（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，

∵焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，

∴，

∵當(dāng)點(diǎn)在短軸頂點(diǎn)時(shí)面積最大，此時(shí)，

∴，，

∴橢圓方程為.

（Ⅱ）易知四邊形為平行四邊形，則，

而

由題意知直線斜率不為0,設(shè)直線為：

聯(lián)立消 得 ，

由韋達(dá)定理有，

又因?yàn)?/span>，∴

，

設(shè)，則，

∴在上是增函數(shù)，

所以，當(dāng)時(shí)，取最大值6，此時(shí)，即.