Question

8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cos2C+2cos（A+B）+$\frac{3}{2}$=0，a+b=5，c=$\sqrt{7}$．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和，得到A+B=π-C，然后結(jié)合二倍角公式化簡cos2C+2cos（A+B）+$\frac{3}{2}$=0，求出cosC的值，即可求出結(jié)果．
（2）利用余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，結(jié)合條件a+b=5，求出a，b的值，再由三角形的面積公式計算可得．

解答 解：（1）在△ABC中，A+B=π-C，
由已知，得（2cos²C-1）+2cos（π-C）+$\frac{3}{2}$=0，
整理，得4cos²C-4cosC+1=0
解得：cosC=$\frac{1}{2}$，
又∵0＜C＜180°
∴C=60°；
（2）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，
即（$\sqrt{7}$）²=a²+b²-2•abcos60°，①
a+b=5，②
解得b=3，a=2或a=3，b=2．
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×2×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了余弦定理、面積公式以及三角函數(shù)的化簡，考查運算能力，屬于中檔題．