Question

3．七個(gè)實(shí)數(shù)排成一排，奇數(shù)項(xiàng)成A•P，偶數(shù)項(xiàng)成G•P，且奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之積的差為42．首末兩項(xiàng)與中間項(xiàng)之和為27，求中間的值．

Answer 1

分析 由題意設(shè)七個(gè)實(shí)數(shù)為：a₁、a₂、a₃、a₄、a₅、a₆、a₇，根據(jù)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)可得：a₁+a₇=a₃+a₅，${{a}_{4}}^{2}={a}_{2}{a}_{6}$，根據(jù)條件列出方程組化簡(jiǎn)后求出中間的值．

解答 解：由題意設(shè)七個(gè)實(shí)數(shù)為：a₁、a₂、a₃、a₄、a₅、a₆、a₇，
其中奇數(shù)項(xiàng)：a₁、a₃、a₅、a₇成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)：a₂、a₄、a₆成等比數(shù)列，
∴a₁+a₇=a₃+a₅，${{a}_{4}}^{2}={a}_{2}{a}_{6}$，
∵奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之積的差為42．首末兩項(xiàng)與中間項(xiàng)之和為27，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{3}+{a}_{5}+{a}_{7}-{a}_{4}{a}_{6}=42}\\{{a}_{1}+{a}_{7}+{a}_{4}=27}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{2{（a}_{1}+{a}_{7}）-{{a}_{4}}^{3}=42}\\{{a}_{1}+{a}_{7}+{a}_{4}=27}\end{array}\right.$，
化簡(jiǎn)可得${{a}_{4}}^{3}+2{a}_{4}-12=0$，
∴${{a}_{4}}^{3}-8+2{a}_{4}-4=0$，則$（{a}_{4}-2）（{{a}_{4}}^{2}+2{a}_{4}+6）=0$，
∵${{a}_{4}}^{2}+2{a}_{4}+6$=${{（a}_{4}+1）}^{2}+5＞0$，
∴a₄-2=0，則a₄=2，
∴中間的值是2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活應(yīng)用，以及整體代換求值，考查化簡(jiǎn)變形能力，屬于中檔題．