Question

已知定點(diǎn)A（0，a），B（0，b），（a＞b＞0），試在x軸正半軸上求一點(diǎn)C，使∠ACB取得最大值．

Answer 1

分析：根據(jù)題目所給的條件，用直線和圓的位置關(guān)系，確定點(diǎn)的位置，由正弦定理得，當(dāng)圓與X軸相切時(shí)，要求的角最大，寫出角的正切值，不是特殊角，用反三角函數(shù)來表示．

解答：解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（x，0），
在三角形ABC中，根據(jù)正弦定理知：
sinACB=

a-b

2R

其中R是三角形ABC外接圓的半徑，
當(dāng)R最小時(shí)，角最大，
在過A與B定點(diǎn)的圓中當(dāng)且僅當(dāng)C是圓與X軸相切時(shí)，半徑最小，
∴切點(diǎn)C即為所求，
由切割線定理知OC²=OA•OB=ab，
∴OC=

ab

即點(diǎn)C坐標(biāo)為（

ab

，0）時(shí)
∠ACB=arctan

a-b

2 ab

．

點(diǎn)評(píng)：認(rèn)識(shí)向量的代數(shù)特性．向量的坐標(biāo)表示，實(shí)現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的互相轉(zhuǎn)化．以向量為工具，幾何問題可以代數(shù)化，代數(shù)問題可以幾何化．